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B树介绍
◼ B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现
◼ 仔细观察B树，有什么眼前一亮的特点？
1个节点可以存储超过2个元素、可以拥有超过2个子节点
拥有二叉搜索树的一些性质
平衡，每个节点的所有子树高度一致
比较矮
m阶B树性质
一、节点的元素个数
1 ≤ 根节点元素个数 ≤ m − 1
┌ m/2 ┐ − 1 ≤ 非根节点元素个数 ≤ m − 1
二、节点的子节点个数
如果有子节点，子节点个数 = 当前节点元素个数+1。即：
2 ≤ 根节点的子节点个数 ≤ m
┌ m/2 ┐ ≤ 非根节点的子节点个数 ≤ m
三、举例
➢ 比如 m = 2，1 ≤ 子节点个数 ≤ 2，因此可以称为（1, 2）树、1-2树
➢ 比如 m = 3，2 ≤ 子节点个数 ≤ 3，因此可以称为（2, 3）树、2-3树
➢ 比如 m = 4，2 ≤ 子节点个数 ≤ 4，因此可以称为（2, 4）树、2-3-4树
➢ 比如 m = 5，3 ≤ 子节点个数 ≤ 5，因此可以称为（3, 5）树
➢ 比如 m = 6，3 ≤ 子节点个数 ≤ 6，因此可以称为（3, 6）树
➢ 比如 m = 7，4 ≤ 子节点个数 ≤ 7，因此可以称为（4, 7）树
四、思考
如果 m = 2，那B树是什么样子？
二叉树
你猜数据库实现中一般用几阶B树？
200 ~ 300
B树 VS 二叉搜索树
◼ B树 和 二叉搜索树，在逻辑上是等价的
◼ 多代节点合并，可以获得一个超级节点
2代合并的超级节点，最多拥有 4 个子节点（至少是 4阶B树）
3代合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点（至少是 8阶B树）
n代合并的超级节点，最多拥有 2n个子节点（ 至少是 2n阶B树）
◼ m阶B树，最多需要 log2^m 代合并
搜索
跟二叉搜索树的搜索类似
- 先在节点内部从小到大开始搜索元素
- 如果命中，搜索结束
- 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤 1
添加
添加的重要性质：新添加的元素必定是添加到叶子节点
一、常规添加
插入55
插入95
◼ 再插入 98 呢？（假设这是一棵 4阶B树）
最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制
这种现象可以称之为：上溢（overflow）
二、上溢的解决（假设5阶）
◼ 上溢节点的元素个数必然等于 m
◼ 假设上溢节点最中间元素的位置为 k
将 k 位置的元素向上与父节点合并
将 [0, k-1] 和 [k + 1, m - 1] 位置的元素分裂成 2 个子节点
✓ 这 2 个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制（┌ m/2 ┐ − 1）
◼ 一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决
最极端的情况，有可能一直分裂到根节点
删除
一、删除叶子节点
假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可
◼ 删除 30
二、删除非叶子节点
假如需要删除的元素在非叶子节点中
- 先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值
- 再把前驱或后继元素删除
◼ 删除 60
◼ 非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中
所以这里的删除前驱或后继元素 ，就是最开始提到的情况：删除的元素在叶子节点中
删除的重要性质：真正的删除元素都是发生在叶子节点中
三、下溢
1、下溢
◼ 删除 22 ？（假设这是一棵 5阶B树）
叶子节点被删掉一个元素后，元素个数可能会低于最低限制（ ≥ ┌ m/2 ┐ − 1 ）
这种现象称为：下溢（underflow）
2、下溢的解决
◼ 下溢节点的元素数量必然等于 ┌ m/2 ┐ − 2
◼ 如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少 ┌ m/2 ┐ 个元素，可以向其借一个元素
将父节点的元素 b 插入到下溢节点的 0 位置（最小位置）
用兄弟节点的元素 a（最大的元素）替代父节点的元素 b
这种操作其实就是：旋转
3、下溢的解决2
◼ 如果下溢节点临近的兄弟节点，只有 ┌ m/2 ┐ − 1 个元素
将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
合并后的节点元素个数等于┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2，不超过 m − 1
这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播
4、示例
◼ 删除 22 ？（假设这是一棵 5阶B树）
4阶B树
◼ 如果先学习4阶B树（2-3-4树），将能更好地学习理解红黑树
◼ 4阶B树的性质
所有节点能存储的元素个数 x ：1 ≤ x ≤ 3
所有非叶子节点的子节点个数 y ：2 ≤ y ≤ 4
尝试画一画4阶B树的添加和删除
◼ 添加：从 1 添加到 22
◼ 删除：从 1 删除到 22
行者常至，为者常成！